D'après un article de Hugo Duminil-Copin and Vincent Tassion.
On fixe $d \ge 2$ et on note $\mathbb L^d = (\mathbb Z^d, \mathbb E^d)$ le réseau cubique en dimension $d$. On notera $B_n = [-n, n]^d \cap \mathbb Z^d$ la boite de taille $n$ et $\partial B_n = B_n \setminus B_{n-1}$ son bord.
On note $\Omega = \{0,1\}^{\mathbb E^d}$ l'ensemble des configurations d'arêtes, où chaque arête $e \in \mathbb E^d$ est soit ouverte ($\omega(e)=1$), soit fermée ($\omega(e)=0$). Pour tout $p \in [0,1]$ on note $\mathbb P_p$ la loi sur $\Omega$ telle que les $(\omega(e))_{e \in \mathbb E^d}$ sont i.i.d. de loi de Bernoulli de paramètre $p$.
On note alors $\theta(p) = \mathbb P_p(0 \leftrightarrow \infty)$ la probabilité qu'il existe un chemin de longeur infini partant de $0$ formé d'arêtes ouvertes, puis $$p_c = \sup\{p \in [0,1] \colon \theta(p) = 0\}.$$
Le but de l'exposé est de montrer le résultat de transition de phase suivant :
Pour tout sous-ensemble $S \subset \mathbb Z^d$ contenant $0$, on note $\Delta S$ l'ensemble des arêtes avec exactement une extrémité dans $S$ et on définit alors $$\varphi_p(S) = p \sum_{\{x,y\} \in \Delta S} \mathbb P_p(0 \leftrightarrow_S x),$$ où l'événement dans la probabilité signifie que $0$ est relié à $x$ par un chemin d'arêtes ouvertes dans $S$. On pose enfin $$\tilde{p}_c = \sup\{p \in [0,1] \colon \exists S \subset \mathbb Z^d \text{ fini et contenant $0$ tel que } \varphi_p(S) < 1\}.$$
L'enjeu est de montrer le même résultat de transition de phase qu'au-dessus, mais avec $\tilde{p}_c$ au lieu de $p_c$, c'est-à-dire :
Notons que si cela est vrai, alors :
On en déduit que $\tilde{p}_c = p_c$, et donc que le résultat est aussi valide pour $p_c$.
L'outil technique principal de la preuve est la formule de Russo.
On dit qu'un événement est croissant si pour toutes configurations d'arêtes $\omega_1, \omega_2 \in \Omega$ telles que $\omega_1 \le \omega_2$, i.e. telles que toute arête ouverte dans $\omega_1$ l'est aussi dans $\omega_2$, on a $\omega_1 \in A \implies \omega_2 \in A$. Une arête $e$ est dite pivot pour un événement $A$ et une configuration $\omega$ si $\omega \in A \iff \omega^e \notin A$, où $\omega^e$ coincide avec $\omega$ partout sauf en $e$ où elles diffèrent.
La formule de Russo est le théorème suivant : si $A$ est un événement croissant défini à partir d'un nombre fini d'arêtes, alors en notant $N(A)$ le nombre d'arêtes pivots, on a : $$\frac{d}{dp} \mathbb P_p(A) = \mathbb E_p[N(A)].$$
L'événément $\{0 \leftrightarrow \partial B_n\}$ est croissant, et en contrôlant les arêtes pivots, on arrive à la majoration voulue pour $p<\tilde{p}_c$.
Hugo Duminil-Copin & Vincent Tassion. A new proof of the sharpness of the phase transition
for Bernoulli percolation on $\mathbb Z^d$ (2016). Disponible sur ce lien .